个人介绍
离散数学 曹珍富
提供学校: 上海交通大学
专业大类: 数学
专业: 基础数学

离散数学(Discrete mathematics)是研究离散量的结构及其相互关系的数学学科,是现代数学的一个重要分支。它在各学科领域,特别在计算机科学与技术领域有着广泛的应用,同时离散数学也是计算机专业的许多专业课程,如程序设计语言、数据结构、操作系统、编译技术、人工智能、数据库、算法设计与分析、理论计算机科学基础等必不可少的先行课程。通过离散数学的学习,不但可以掌握处理离散结构的描述工具和方法,为后续课程的学习创造条件,而且可以提高抽象思维和严格的逻辑推理能力,为将来参与创新性的研究和开发工作打下坚实的基础。

教师团队

曹珍富 教授、博导

单位:上海交通大学

部门:计算机系

职位:教授、博导

离散数学简介

随着信息时代的到来,工业革命时代以微积分为代表的连续数学占主流的地位已经发生了变化,离散数学的重要性逐渐被人们认识。离散数学课程所传授的思想和方法,广泛地体现在计算机科学技术及相关专业的诸领域,从科学计算到信息处理,从理论计算机科学到计算机应用技术,从计算机软件到计算机硬件,从人工智能到认知系统,无不与离散数学密切相关。由于数字电子计算机是一个离散结构,它只能处理离散的或离散化了的数量关系, 因此,无论计算机科学本身,还是与计算机科学及其应用密切相关的现代科学研究领域,都面临着如何对离散结构建立相应的数学模型;又如何将已用连续数量关系建立起来的数学模型离散化,从而可由计算机加以处理。

离散数学是传统的逻辑学,集合论(包括函数),数论基础,算法设计,组合分析,离散概率,关系理论,图论与树,抽象代数(包括代数系统,群、环、域等),布尔代数,计算模型(语言与自动机)等汇集起来的一门综合学科。离散数学的应用遍及现代科学技术的诸多领域。

离散数学课程主要介绍离散数学的各个分支的基本概念、基本理论和基本方法。这些概念、理论以及方法大量地应用在数字电路、编译原理、数据结构、操作系统、数据库系统、算法的分析与设计、人工智能、计算机网络等专业课程中;同时,该课程所提供的训练十分有益于学生概括抽象能力、逻辑思维能力、归纳构造能力的提高,十分有益于学生严谨、完整、规范的科学态度的培养。

离散数学课程的教学目的,不但作为计算机科学与技术及相关专业的理论基础及核心主干课,对后续课程提供必需的理论支持。更重要的是旨在“通过加强数学推理,组合分析,离散结构,算法构思与设计,构建模型等方面专门与反复的研究、训练及应用,培养提高学生的数学思维能力和对实际问题的求解能力。”

离散数学通常研究的领域包括:数理逻辑、集合论、代数结构、关系论、函数论、图论、组合学、数论等。它是高校计算机及相关专业的重要基础课程之一。

离散数学的历史

历史上,离散数学涉及了各个领域的一系列挑战性问题。在图论中,大量研究的动机是企图证明四色定理。这些研究虽然从1852年开始,但是直至1976年四色理论才得到证明,是由肯尼斯·阿佩尔(Kenneth Appel)和沃尔夫冈·哈肯(Wolfgang Haken)大量使用计算机辅助来完成的。

在逻辑领域,大卫·希尔伯特(David Hilbert)于1900年提出的公开问题清单的第二个问题是要证明算术的公理是一致的。1931年,库尔特·哥德尔的第二不完备定理证明这是不可能的——至少算术本身不可能。大卫·希尔伯特的第十个问题是要确定某一整系数多项式丢番图方程是否有一个整数解。1970年,尤里·马季亚谢维奇证明这不可能做到。

第二次世界大战时盟军有破解纳粹德军密码的需要,带动了密码学和理论计算机科学的发展。英国的布莱切利园因而发明出第一部数字电子计算机——巨像电脑。与此同时,军事上的需求亦带动了运筹学的发展。直至冷战时期,密码学的地位依然重要,其后的几十年间更发展出如公开密钥加密等根本性的长进。随着1950年代关键路径方法的创立,运筹学则于商业和项目管理上愈趋重要。电讯工业的出现亦助长了离散数学,特别是图论和信息论上的发展。数理逻辑上叙述的形式验证至今已经成为安全关键系统的软件开发中必不可少的一环,自动定理证明的技术也因此而提高。

当今,理论计算机科学中最著名的开放问题之一是P/NP问题,P/NP问题中包含了复杂度类P与NP的关系。克雷数学研究所为此及其他6个千禧年大奖难题的第一个正确证明各悬赏100万美元。

离散数学的课程内容

1.集合论部分:集合及其运算、二元关系与函数、自然数及自然数集、集合的基数

2.图论部分:图的基本概念、欧拉图与哈密顿图、树、图的矩阵表示、平面图、图着色、支配集、覆盖集、独立集与匹配、带权图及其应用

3.代数结构部分:代数系统的基本概念、半群与独异点、群、环与域、格与布尔代数

4.组合数学部分:组合存在性定理、基本的计数公式、组合计数方法、组合计数定理

5.数理逻辑部分:命题逻辑、一阶谓词演算、消解原理

离散数学被分成三门课程进行教学,即集合论与图论、代数结构与组合数学、数理逻辑。教学方式以课堂讲授为主, 课后有书面作业、通过学校网络教学平台发布课件并进行师生交流。

参考教材


课程评价

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